一、引导

　　1、极值点

　　y=f(x)， (x∈D), x0∈D

　　若存在δ>0,

　　当0<

　　x-x0

　　<δ时，f(x)>f(x0)，称f(x0)为极小值点

　　当0<

　　x-x0

　　<δ时，f(x)<f(x0)，称f(x0)为极大值点

　　2、极值点与一阶导数

　　（1）f(a)>0：不是极值点

　　（2）f(a)<0：不是极值点

　　（3）f(a)=0：可能是极值点

　　例如：f(x)=x^2, f(0)=0,f(0)是极小值点

　　反例：f(x)=x^3,f(0)=0,f(0)不是极值点

　　（4）f(a)不存在：可能是极值点

　　例如：f(x)=

　　x

　　,f(0)不存在，f(0)是极小值点

　　反例：f(x)=tanx,f(π/2)不存在，f(0)不是极小值点

　　结论：f(x)在x=a取极值且可导，则f(a)=0,反之不成立。二、罗尔(Rolle)中值定理

　　定理：

　　若：(1)f(x)∈c[a,b], (2)f(x)在[a,b]可导, (3)f(a)=f(b), 则一定存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0。

　　证明：分两种情况

　　(1)若m=M

　　则f(x)是一个常数，所以f(x)=0,所以存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0

　　(2)若m≠M

　　因为f(a)=f(b)

　　若f(a)=f(b)=m,则M在(a,b)内取到

　　若f(a)=f(b)=M,则m在(a,b)内取到

　　由此得出，m,M至少有一个在(a,b)内取到，

　　所以存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=m或f(ξ)=M

　　又因为f(x)在(a,b)内可导

　　所以f(ξ)=0

　　即证！

　　三、拉格朗日(Lagrange)中值定理

　　定理：

　　若：(1)f(x)∈c[a,b], (2)f(x)在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b), 使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

　　证明：

　　分析：拉格朗日中值定理比罗尔中值定理少了“f(a)=f(b)”的这一个条件，我们可以构造出一个函数，使得“f(a)=f(b)”

　　f(a),f(b)这条直线的函数为：y-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)

　　=>y=g(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)+f(a)

　　令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)

　　因为f(a)=g(a),f(b)=g(b)

　　此时h(a)=h(b)，而且h(x)在(a,b)内可导，复合罗尔定理条件

　　所以存在ξ∈(a,b)使得h(ξ)=0

　　所以：h(ξ)=f(ξ)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0

　　=>f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

　　得证！

　　四、柯西(Cauchy)中值定理

　　定理：

　　若：(1)f(x),g(x)∈c[a,b], (2)f(x),g(x)在(a,b)内可导, (3)g(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)

　　使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f(ξ)/g(ξ)

　　证明：引入辅助函数

　　h(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] *[g(x)-g(a)]

　　可知h(a)=0,h(b)=0

　　此时满足罗尔定理三大条件

　　所以存在ξ∈(a,b)，使得h(ξ)=0

　　=>f(ξ)-[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] *g(ξ)=0

　　=>f(ξ)/g(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]

　　即证！